亲密关系网
首页 关系资讯 正文

互为反函数的极限关系

来源:亲密关系网 2024-07-11 13:11:23

录:

互为反函数的极限关系(1)

引言

  数学中,函数是一种非常重要的概念aoting666.com。函数的定义是一种对应关系,将一个自变量射到一个因变量。函数可以用于描述自然界中的各种现象,例如物学中的运动规律、化学中的反应速率等等。函数的研究中,互为反函数是一种非常殊的情况。本将介绍互为反函数的概念以及它们之间的极限关系。

互为反函数的极限关系(2)

互为反函数的概念

  互为反函数是指两个函数,它们的定义域和值域互为对方的值域和定义域,并且它们的复合函数等于自变量,即:

  设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D_f$,值域为 $R_f$,函数 $g(x)$ 的定义域为 $D_g$,值域为 $R_g$,则如果满足以下条件:

  1. $f(g(x))=x$,对于所有 $x\in D_g$;

  2. $g(f(x))=x$,对于所有 $x\in D_f$。

  则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 互为反函数原文www.aoting666.com

  互为反函数的定义可以用图像表示。设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 互为反函数,则它们的图像关于 $y=x$ 对称。例如,下图中的 $y=x$ 线段将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图像分别对称。

  ![image.png](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/fd6qo5si.png)

互为反函数的极限关系(3)

互为反函数的性质

  互为反函数有以下性质:

  1. 互为反函数的定义域和值域互为对方的值域和定义域;

2. 互为反函数的导数互为倒数;

3. 互为反函数的极限互为倒数。

下面将分别介绍这些性质。

  性质一:互为反函数的定义域和值域互为对方的值域和定义域

  这个性质是互为反函数定义的一部分亲~密~关~系~网。因为 $f(x)$ 的定义域和值域是 $g(x)$ 的值域和定义域,所以它们互为对方的值域和定义域。

例如,设 $f(x)=\sqrt{x}$,$g(x)=x^2$,则它们互为反函数。$f(x)$ 的定义域为 $D_f=[0,\infty)$,值域为 $R_f=[0,\infty)$,$g(x)$ 的定义域为 $D_g=[0,\infty)$,值域为 $R_g=[0,\infty)$。因此,它们的定义域和值域互为对方的值域和定义域。

性质二:互为反函数的导数互为倒数

  设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 互为反函数,则它们的导数互为倒数。即:

  $$f'(x)=\frac{1}{g'(f(x))}$$

  $$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$$

这个性质可以用求导法证明亲.密.关.系.网。设 $f(x)$ 的导数为 $f'(x)$,$g(x)$ 的导数为 $g'(x)$。则有:

$$f(g(x))=x$$

  两同时对 $x$ 求导,得到:

  $$f'(g(x))g'(x)=1$$

  因此:

$$f'(g(x))=\frac{1}{g'(x)}$$

  将 $g(x)$ 替换为 $f(x)$,得到:

  $$f'(x)=\frac{1}{g'(f(x))}$$

  同可得:

$$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$$

例如,设 $f(x)=\sin x$,$g(x)=\arcsin x$,则它们互为反函数。据求导法则,有:

  $$f'(x)=\cos x$$

  $$g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

因此,它们的导数互为倒数。

性质三:互为反函数的极限互为倒数

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 互为反函数,则当 $x\rightarrow a$ 时,有:

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$$

  $$\lim_{x\rightarrow b}g(x)=a$$

  则有:

  $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{g(x)-b}=\frac{1}{a-b}$$

$$\lim_{x\rightarrow b}\frac{1}{f(x)-a}=\frac{1}{b-a}$$

这个性质可以用极限的定义证明。设 $L_1=\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{g(x)-b}$,$L_2=\frac{1}{a-b}$。则对于任意 $\epsilon>0$,存 $\delta>0$,使得当 $0<|x-a|<\delta$ 时,有:

$$\left|\frac{1}{g(x)-b}-\frac{1}{a-b}\right|<\epsilon$$

  将 $\frac{1}{g(x)-b}-\frac{1}{a-b}$ 化简,得到:

$$\frac{1}{(g(x)-b)(a-b)}$$

  因为 $g(x)$ 的极限为 $b$,所以存 $M>0$,使得当 $0<|x-a|<\delta$ 时,有:

$$|g(x)-b|

因此:

  $$\frac{1}{(g(x)-b)(a-b)}<\frac{1}{(b-M)(a-b)}$$

  因为 $a\neq b$,所以 $\frac{1}{(b-M)(a-b)}$ 是一个有限数亲+密+关+系+网。因此,当 $0<|x-a|<\delta$ 时,有:

  $$\left|\frac{1}{g(x)-b}-\frac{1}{a-b}\right|<\frac{\epsilon}{(b-M)(a-b)}$$

  因此,$L_1=L_2$,即:

  $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{g(x)-b}=\frac{1}{a-b}$$

可得:

  $$\lim_{x\rightarrow b}\frac{1}{f(x)-a}=\frac{1}{b-a}$$

  例如,设 $f(x)=\ln x$,$g(x)=e^x$,则它们互为反函数。当 $x\rightarrow 0$ 时,有:

  $$\lim_{x\rightarrow 0}\ln x=-\infty$$

  $$\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0$$

因此:

  $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{e^x}=1$$

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{\ln e^x}=1$$

  因此,它们的极限互为倒数。

结论

互为反函数是一种非常殊的函数关系,它们的定义域和值域互为对方的值域和定义域,导数互为倒数,极限互为倒数。互为反函数积分中有广泛的应用,例如求反函数的导数、求曲线的切线和法线等等。因此,学习互为反函数的概念和性质对于积分非常重要。

标签 关系
我说两句
0 条评论
请遵守当地法律法规
最新评论

还没有评论,快来做评论第一人吧!
相关文章
最新更新
最新推荐